Question

已知点A（-1，0）、B（1，0），直线AM与BM相交于点M，且它们的斜率之积为-2，
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若过点N（

1

2

，1）的直线l交动点M的轨迹于C、D两点，且点N为CD的中点，求直线l的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可得：设M（x，y），写出直线AM与直线BM的斜率，利用线AM与直线BM的斜率之积为-2，得到x与y的关系，进而得到答案；
（2）根据题意可得直线l的斜率存在，设l：y-1=k（x-

1

2

），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），联立方程组得：（2+k²）x²-k（k-2）x+（-

1

2

k+1）²-2=0再结合根据根与系数的关系，求出直线的斜率得到直线的方程．

解答： 解：（1）由题意可得：设M（x，y），
∵直线AM与直线BM的斜率之积为-2，
∴

y

x+1

•

y

x-1

=-2，化简得：x2+

y2

2

=1(y≠0)．
∴动点M的轨迹E的方程为x2+

y2

2

=1(y≠0)．
（2）根据题意可得直线l的斜率存在，
∴设l：y-1=k（x-

1

2

），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
代入椭圆方程，整理可得：（2+k²）x²-k（k-2）x+（-

1

2

k+1）²-2=0
∴x₁+x₂=-

k(2-k)

2+k2

，
∵N（

1

2

，1）为CD的中点，
∴-

k(2-k)

2+k2

=1，
∴k=-1，
∴直线l的方程为2x+2y-3=0．

点评：本题主要考查求曲线方程的方法，以及考查当直线与圆相交时结合题意运用韦达定理化简求值的知识点，是一道综合性较强的题．