Question

设两圆C₁：（x-

2

）²+y²=1和C₂：x²+y²+2

2

x=0的圆心分别为C₁、C₂，G₁、G₂分别是圆C₁、C₂上的点，M是动点，且|MC₁|+|MC₂|=4
（1）求动点M的轨迹L的方程；
（2）设轨迹H与y轴的一个交点为B（0，-b），是否存在直线l：y=x+m，使点B关于直线l的对称点落在轨迹L上，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由MC₁|+|MC₂|=4＞|C₁C₂|，可得动点M的轨迹是以C₁、C₂为焦点的椭圆，且2a=4，即可求出动点M的轨迹L的方程；
（2）求出B关于直线l的对称点，代入椭圆方程，即可求出直线l的方程．

解答： 解：（1）由题意，C₁（

2

，0），C₂（-

2

，0），则
∵|MC₁|+|MC₂|=4＞|C₁C₂|，
∴动点M的轨迹是以C₁、C₂为焦点的椭圆，且2a=4，
∴a=2，b=

2

，
∴动点M的轨迹L的方程为

x2

4

+

y2

2

=1；
（2）B（0，-

2

），点B关于直线l的对称点为（x，y），则

y+ 2 x =-1 y- 2 2 = x 2 +m

∴x=-

2

-m，y=m，
代入

x2

4

+

y2

2

=1，可得

(- 2 -m)2

4

+

m2

2

=1，
∴m²+

2

m-1=0，
∴m=

- 2 ± 6

2

，
∴直线l：y=x+

- 2 ± 6

2

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查椭圆的方程，考查点关于直线的对称点的求法，属于中档题．