Question

已知抛物线y²=4x．
（1）若圆心在抛物线y²=4x上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线x+1=0相切，求所有的圆都经过的定点坐标；
（2）抛物线y²=4x的焦点为F，若过F点的直线与抛物线相交于M，N两点，若

FM

=-4

FN

，求直线MN的斜率；
（3）若过F点且相互垂直的两条直线l₁，l₂，抛物线与l₁交于点P₁，P₂，与l₂交于点Q₁，Q₂．证明：无论如何取直线l₁，l₂，都有

1

|P1P2|

+

1

|Q1Q2|

为一常数．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）本题考查抛物线的定义，由于直线x+1=0是已知抛物线的准线，而圆心在抛物线上的圆既然与准线相切，则它必定过抛物线的焦点，所以所有的圆必过抛物线的焦点，即定点（1，0）；
（2）设直线MN方程为y=k（x-1），把它与抛物线方程联立方程组，消去x，就可得到关于y的方程，可得y₁+y₂，y₁y₂，利用条件

FM

=-4

FN

，即可得出结论；
（3）过F点的直线l₁为x=ky+1，代入抛物线方程，分别求出|P₁P₂|，|Q₁Q₂|，即可证明．

解答： （1）解：由题意，直线x+1=0是已知抛物线的准线，圆心在抛物线上的圆．
∵圆与准线相切，
∴圆必定过抛物线的焦点，
∴所有的圆必过抛物线的焦点，即定点（1，0）；
（2）解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
设直线MN方程为y=k（x-1），把它与抛物线方程联立方程组，消去x，得y²-

4y

k

-4=0
∴y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4，
∵

FM

=-4

FN

，
∴y₁=-4y₂，
∴k=±

4

3

；
（3）证明：设Q₁（x₃，y₃），Q₂（x₄，y₄），过F点的直线l₁为x=ky+1，代入抛物线方程得y²-4ky-2=0，
∴y₃+y₄=4k，y₃y₄=-2，
∴|P₁P₂|=x₃+x₄+2=k（y₃+y₄）+4=4k²+4，
同理|Q₁Q₂|=

4

k2

+4，
∴

1

|P1P2|

+

1

|Q1Q2|

=

1

4

为一常数．

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题，考查向量知识，考查小时分析解决问题的能力，有难度．