Question

已知F₁，F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，如果双曲线上存在一点P，使得F₂关于直线PF₁的对称点恰在y轴上，则该双曲线的离心率e的取值范围为（　　）

• A、e＞

  2 3

  3

• B、1＜e＜

  2 3

  3

• C、e＞

  3

• D、1＜e＜

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用对称性，可得MF₁=F₁F₂=2c，设直线PF₁：y=

3

3

（x+c），代入双曲线方程，得到x的二次方程，方程有两个异号实数根，则有3b²-a²＞0，再由a，b，c的关系，及离心率公式，即可得到范围．

解答： 解：设点F₂（c，0），
由于F₂关于直线PF₁的对称点恰在y轴上，不妨设M在正半轴上，
由对称性可得，MF₁=F₁F₂=2c，
则MO=

4c2-c2

=

3

c，∠MF₁F₂=60°，∠PF₁F₂=30°，
设直线PF₁：y=

3

3

（x+c），
代入双曲线方程，可得，（3b²-a²）x²-2ca²x-a²c²-3a²b²=0，
则方程有两个异号实数根，
则有3b²-a²＞0，即有3b²=3c²-3a²＞a²，即c＞

2 3

3

a，
则有e=

c

a

＞

2 3

3

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的性质和方程，考查对称性的运用，考查直线方程和双曲线方程，联立消去y，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题和易错题．