Question

6．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a为常数）在x=ln2处取得极值．
（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；
（2）证明：当x＞0时，e^x＞x²+1；
（3）证明：当n∈N^*时，1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$＞ln$\frac{（n+1）^{3}}{（3e）^{n}}$．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到a值，代入原函数解析式，再由导函数的符号求得原函数的单调区间；
（2）由（1）中的函数单调性可得函数的最小值，进一步得到函数g（x）=e^x-x²-1的导函数大于0，得到其单调性，证得e^x＞x²+1；
（3）首先利用导数证明当x＞0时，${e}^{x}＞\frac{1}{3}{x}^{3}$，得到x+ln3＞3lnx，依次取x=$\frac{2}{1}，\frac{3}{2}，…，\frac{n+1}{n}$，然后累加得答案．

解答 （1）解：f（x）=e^x-ax-1，f′（x）=e^x-a，
由题意可得f′（ln2）=e^ln2-a=0，则a=2，
∴f（x）=e^x-2x-1，f′（x）=e^x-2，
由e^x-2＞0，得x＞ln2，
∴f（x）的单调减区间为（-∞，ln2），单调增区间为（ln2，+∞）；
（2）证明：由（1）知，$f（x）_{min}=f（ln2）={e}^{ln2}-2ln2-1=1-ln4$，
∴f（x）≥1-ln4，即e^x-2x-1≥1-ln4，e^x-2x≥2-ln4＞0，
令g（x）=e^x-x²-1，则g′（x）=e^x-2x＞0，
∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，则g（x）=e^x-x²-1＞g（0）=0，
即e^x＞x²+1；
（3）首先证明当x＞0时，${e}^{x}＞\frac{1}{3}{x}^{3}$，
令h（x）=${e}^{x}-\frac{1}{3}{x}^{3}$，则h′（x）=e^x-x²，由（2）知，当x＞0时，e^x＞x²，
∴h′（x）＞0，则函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（0）=1＞0，则e^x$＞\frac{1}{3}{x}^{3}$，
∴x＞ln（$\frac{1}{3}{x}^{3}$），即x+ln3＞3lnx，
依次取x=$\frac{2}{1}，\frac{3}{2}，…，\frac{n+1}{n}$，得
$\frac{2}{1}+ln3＞3ln\frac{2}{1}$，$\frac{3}{2}+ln3＞3ln\frac{3}{2}$，…，$\frac{n+1}{n}+ln3＞3ln\frac{n+1}{n}$．
以上各式相加有：$\frac{2}{1}+\frac{3}{2}+…+\frac{n+1}{n}$＞3ln（$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×…×\frac{n+1}{n}$），
∴n+（1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$）+nln3＞3ln（n+1），
∴1$+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+$…+$\frac{1}{n}$＞3ln（n+1）-nln3-n，
即1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$＞ln$\frac{（n+1）^{3}}{（3e）^{n}}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，训练了数列不等式的证明方法，特别是对于（3）的证明，需要想到首先证明当x＞0时，${e}^{x}＞\frac{1}{3}{x}^{3}$，入手难度较大．