Question

16．如图，在边长为1的等边△ABC中D、E分别为AB、AC上的点，点A关于直线DE的对称点A₁恰好在线段BC上，
（1）∠A₁AB=θ∈[0，$\frac{π}{3}$]，用θ表示AD；
（2）求AD长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）设∠A₁AB=θ∈[0°，60°]，用余弦定理表示x与y的关系，利用正弦定理求出AA₁，然后用θ表示AD．
（2）通过两角和的正弦函数化简AD的表达式，通过θ的范围求解三角函数的最值．

解答 解：（1）设∠A₁AB=θ∈[0°，60°]，
则在△A₁BA中，由正弦定理得，$\frac{A{A}_{1}}{sin60°}$=$\frac{1}{sin（θ+60°）}$，
∴AA₁=$\frac{\sqrt{3}}{2sin（θ+60°）}$
∴AD=$\frac{1}{2}•\frac{A{A}_{1}}{cosθ}$=$\frac{\sqrt{3}}{4sin（θ+60°）cosθ}$ θ∈[0°，60°]；
（2）∵4sin（θ+60°）cosθ=2sinθcosθ+2$\sqrt{3}$cos²θ=sin2θ+$\sqrt{3}$（1+cos2θ）=2sin（2θ+60°）+$\sqrt{3}$．
因为θ∈[0°，60°]
所以2θ+60°∈[60°，180°]∴sin（2θ+60°）∈[0，1]，
4sin（θ+60°）cosθ∈[$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$]，∴AD≥$\frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$-3．
∴AD长度的最小值为2$\sqrt{3}$-3，当且仅当θ=$\frac{π}{12}$时取最小值．

点评 本题考查解三角形的知识，正弦定理的应用，两角和的正弦函数，三角函数的最值的求法，考查计算能力．