Question

1．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
（1）求椭圆的方程
（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=8，求k的值．

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆的方程．
（2）直线CD的方程为y=k（x+1），由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出直线的斜率．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{\frac{2{b}^{2}}{a}=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，c=1，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），由F（-1，0），得直线CD的方程为y=k（x+1），
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理，得（2+3k²）x²+6k²x+3k²-6=0，
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{6{k}^{2}}{2+3{k}^{2}}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{3{k}^{2}-6}{2+3{k}^{2}}$，
∵A（-$\sqrt{3}$，0），B（$\sqrt{3}，0$），$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{CB}$=8，
∴$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{DB}$+$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CB}$=（${x}_{1}+\sqrt{3}，{y}_{1}$）•（$\sqrt{3}-{x}_{1}，{y}_{1}$）+（${x}_{2}+\sqrt{3}，{y}_{2}$）•（$\sqrt{3}-{x}_{1}，-{y}_{1}$）
=6-2x₁x₂-2y₁y₂
=$6-2{x}_{1}{x}_{2}-2{k}^{2}（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）$
=6-（2+2k²）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）-2k²
=6+$\frac{2{k}^{2}+12}{2+3{k}^{2}}$=8，
解得k=$±\sqrt{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、向量知识的合理运用．