Question

10．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DBA=60°，∠SAD=30°，$AD=SD=2\sqrt{3}$，BA=BS=4．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面SAD；
（Ⅱ）求直线SB与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）证明：在△ABD中，利用正弦定理得∠ADB=90°，可求得BD=2．
由DB²+SD²=BS²，得SD⊥BD，即可证得BD⊥平面SAD
（Ⅱ） 设S在面ABCD的投影为O，则∠SBO就是直线SB与平面ABCD所成角．
 由V_B-SAD=V_S-ABD，得$\frac{1}{3}×{s}_{△SAD}×DB=\frac{1}{3}×{s}_{ADB}×SO$，解得SO，即可求得sin$∠SBO=\frac{SO}{SB}=\frac{3}{4}$．

解答 （Ⅰ）证明：在△ABD中，$\frac{AB}{sin∠ADB}=\frac{AD}{sin∠DBA}$，把∠DBA=60°，$AD=2\sqrt{3}$，BA=4代入上式，…（2分）
 解得sin∠ADB=1，所以∠ADB=90°，即AD⊥BD，可求得BD=2．
在△SBD中，∵$SD=2\sqrt{3}$，BS=4，BD=2，
∴DB²+SD²=BS²，∴SD⊥BD，…（4分）
∵BD?平面SAD，SD∩AD=D，∴BD⊥平面SAD．…（6分）
（Ⅱ）如图设S在面ABCD的投影为O，则∠SBO就是直线SB与平面ABCD所成角．
在△SAD中，∵∠SAD=30°，$AD=SD=2\sqrt{3}$，∴△SAD为等边△，则s_△SAD=3$\sqrt{3}$
由（Ⅰ）得s_△ADB=2$\sqrt{3}$，
由V_B-SAD=V_S-ABD，得$\frac{1}{3}×{s}_{△SAD}×DB=\frac{1}{3}×{s}_{ADB}×SO$，解得SO=3
在Rt△SOB中，sin$∠SBO=\frac{SO}{SB}=\frac{3}{4}$．
∴线SB与平面ABCD所成角的正弦值为$\frac{3}{4}$

点评 本题考查了空间线面垂直的判定，等体积法求点面距离，从而求线面角，属于中档题．