Question

19．求函数f（x）=$\frac{1}{3}a{x^3}-\frac{1}{2}（a+1）{x^2}$+x（a∈R）的单调递增区间．

Answer 1

分析 求出导函数，通过a的范围判断导函数的符号，判断函数的单调性即可，求解单调区间即可．

解答 解：f'（x）=ax²-（a+1）x+1=（x-1）（ax-1）
当a=0时，若x＜1，则f'（x）＞0，此时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1）；
当a≠0时，令f'（x）=0，则x=1或$x=\frac{1}{a}$，
当a＜0时，$\frac{1}{a}＜1$，若$x∈（\frac{1}{a}，1）$，则f'（x）＞0，
此时，函数f（x）的单调递增区间为$（\frac{1}{a}，1）$．
当0＜a＜1时，$\frac{1}{a}＞1$，若$x∈（-∞，1）∪（\frac{1}{a}，+∞）$，则f'（x）＞0，
此时函数f（x）的单调递增区间为$（-∞，1）∪（\frac{1}{a}，+∞）$．
当a=1时，在R上f'（x）≥0，此时函数f（x）在R单调递增，
当a＞1时，$\frac{1}{a}＜1$，若$x∈（-∞，\frac{1}{a}）∪（1，+∞）$，则f'（x）＞0，
此时函数f（x）的单调递增区间为$（-∞，\frac{1}{a}），（1，+∞）$．

点评 本题考查函数的单调性的判断，考查分类讨论思想的应用，是中档题．