Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=

4

3

，（4ⁿ-1）a_n=3•4^n-1S_n．
（Ⅰ）求数列{S_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

n

3an

，若T_n为数列{b_n}的前n项和，求

lim

n→∞

T_n的值．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）n≥2时，把a_n=S_n-S_n-1代入已知等式可整理为（4^n-1-1）S_n=（4ⁿ-1）S_n-1，亦即

Sn

4n-1

=

Sn-1

4n-1-1

，从而知数列{

Sn

4n-1

}是公比为1的等比数列，于是可求

Sn

4n-1

，进而可得S_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求a_n，进而可得b_n，利用错位相减法可求T_n，进而可求求

lim

n→∞

T_n的值；

解答： 解：（Ⅰ）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
∴n≥2时，3•4^n-1S_n=（4ⁿ-1）（S_n-S_n-1），整理得（4^n-1-1）S_n=（4ⁿ-1）S_n-1，
∴

Sn

4n-1

=

Sn-1

4n-1-1

，
∴数列{

Sn

4n-1

}是公比为1的等比数列，
∴

Sn

4n-1

=

S1

3

=

4

9

，
∴Sn=

4

9

(4n-1)．（n∈N₊）
（Ⅱ）将Sn=

4

9

(4n-1)代入（4ⁿ-1）a_n=3•4^n-1S_n．
得an=

4n

3

，bn=

n

3an

=

n

4n

，
T_n=

1

4

+

2

42

+

3

43

+…+

n

4n

，

1

4

Tn=

1

42

+

2

43

+

3

44

+…+

n

4n+1

，
两式相减得，

3

4

Tn=

1

4

+

1

42

+

1

43

+…+

1

4n

-

n

4n+1

=

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

-

n

4n+1

=

1

3

-

1

3•4n

-

n

4n+1

，
∴Tn=

4

9

-

3n+4

9•4n

，

lim

n→∞

T_n=

4

9

．

点评：该题考查由递推式求数列通项、数列求和及数列极限问题，错位相减法是数列求和的重要方法，要熟练掌握．