Question

证明当a∈（0，+∞）时，2a-aln4a²≤1．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：令f（x）=2x-xln（4x²），x∈（0，+∞）．则f′（x）=2-ln（4x²）-2=-ln（4x²）．可得函数f（x）的单调性最大值，进而证明结论．

解答： 证明：令f（x）=2x-xln（4x²），x∈（0，+∞）．
则f′（x）=2-ln（4x²）-2=-ln（4x²）．
令f′（x）=0，解得x=

1

2

当x＞

1

2

时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；
当0＜x＜

1

2

时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．
∴当x=

1

2

时，函数f（x）取得最大值，f(

1

2

)=1-

1

2

ln1=1．
∴当a∈（0，+∞）时，2a-aln4a²≤1．

点评：本题考查了通过构造函数、利用导数研究函数的单调性最值证明不等式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．