Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（0，

3

），且一个焦点为（-1，0）．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）自点P（m，0）引直线l交椭圆于A，B两点，若

AP

=λ

PB

且

OA

+λ

OB

=3

OP

，其中O是坐标原点，试求m的 取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（0，

3

），且一个焦点为（-1，0）．可得b=

3

，c=1，a²=b²+c²=4．解出即可．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用

AP

=λ

PB

，

OA

+λ

OB

=3

OP

，可得(2-λ)

OP

=

0

，解得λ=2．可得

OP

=(

x1+2x2

3

，

y1+2y2

3

)=（m，0）．x₁+2x₂=3m，y₁+2y₂=0，代入

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，又

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，可得x1=

3m2-4

2m

，利用x₁∈[-2，2]，解出即可．

解答： 解：（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（0，

3

），且一个焦点为（-1，0）．
∴b=

3

，c=1，∴a²=b²+c²=4．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．∵

AP

=λ

PB

，∴

OP

-

OA

=λ

OB

-λ

OP

，又

OA

+λ

OB

=3

OP

，∴(2-λ)

OP

=

0

，∴λ=2．
∴

OA

+2

OB

=3

OP

，可得

OP

=(

x1+2x2

3

，

y1+2y2

3

)=（m，0）．∴x₁+2x₂=3m，y₁+2y₂=0．
∵

x 2 2

4

+

y 2 2

3

=1，
∴

(3m-x1)2

4

+

y 2 1

3

=4，
又∵

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，
∴x1=

3m2-4

2m

，
∵x₁∈[-2，2]，
∴-2≤

3m2-4

2m

≤2，
m＞0时，化为

3m2-4m-4≤0 3m2+4m-4≥0

，解得

2

3

≤m≤2；
同理m＜0，解得-2≤m≤-

2

3

．
综上可得：m的取值范围是[-2，-

2

3

]∪[

2

3

，2]．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点与椭圆的位置关系、向量的坐标运算、一元二次不等式组的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．