Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，若∠B=∠C且7a²+b²+c²=4

3

，则△ABC的面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：由∠B=∠C得b=c，代入7a²+b²+c²=4

3

化简，根据余弦定理求出cosC，由平方关系求出sinC，代入三角形面积公式求出表达式，由基本不等式即可求出三角形ABC面积的最大值．

解答： 解：由∠B=∠C得b=c，代入7a²+b²+c²=4

3

得，
7a²+2b²=4

3

，即2b²=4

3

-7a²，
由余弦定理得，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a

2b

，
所以sinC=

1-cos2C

=

4b2-a2

2b

=

8 3 -15a2

2b

，
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

ab×

8 3 -15a2

2b

=

1

4

a

8 3 -15a2

=

1

4

a2(8 3 -15a2)

=

1

4

×

1

15

15a2(8 3 -15a2)

≤

1

4

×

1

15

×

15a2+8 3 -15a2

2

=

1

4

×

1

15

×4

3

=

5

5

，
当且仅当15a²=8

3

-15a²取等号，此时a²=

4 3

15

，
所以△ABC的面积的最大值为

5

5

，
故答案为：

5

5

．

点评：本题考查余弦定理，平方关系，基本不等式的应用，以及三角形的面积公式，考查变形、化简能力．