Question

给出下列命题：
①在区间（0，+∞）上，函数y=x^-1，y=x 

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中有三个是增函数；
②若log_m3＜log_n3＜0，则0＜n＜m＜1；
③若函数f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；
④已知函数f（x）=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

，则方程f（x）=

1

2

有2个实数根；
以上命题是真命题的是：

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①利用幂函数的单调性质可判断函数y=x^-1，y=x 

1

2

，y=（x-1）²，y=x³在区间（0，+∞）上的单调性；
②利用对数函数的单调性质可判断②的正误；
③利用奇函数则f（x）的图象关于点（0，0）对称及平移变换可判断③的正误；
④利用分段函数的单调性与值域可判断④的正误．

解答： 解：①在区间（0，+∞）上，函数y=x^-1，y=x 

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中只有y=x 

1

2

与y=x³两个为增函数，故①错误；
②若log_m3＜log_n3＜0，则0＜m＜1，0＜n＜1，且m＞n，即0＜n＜m＜1，故②正确；
③函数f（x）是奇函数，则f（x）的图象关于点（0，0）对称；y=f（x-1）的图象是把y=f（x）的图象向右平移一个单位，故f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，即③正确；
④当x≤2时，f（x）=3^x-2∈（0，1]且为（-∞，1]上的增函数；
当x＞2时，f（x）=log₃（x-1）＞0，且为（2，+∞）上的增函数，
∴函数f（x）=

3x-2，x≤2 log3(x-1)，x＞2

与y=

1

2

有两个交点，即方程f（x）=

1

2

有2个实数根，故④正确；
综上所述，命题是真命题的是：②③④．
故答案为：②③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查幂函数、对数函数及指数函数的单调性与最值，考查分析、运算能力，属于中档题．