Question

【题目】已知函数的最小正周期为，将的图像向右平移个单位长度后得到函数，的图像关于轴对称，且.

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，若函数的图像在上恰有2个最高点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根据给出的周期，可求出ω的值；由f（x）的图象向右平移个单位长度，函数的图象关于y轴对称，求出φ的值；由，得A的值即可；

（2）由（1）可得F（x）的解析式，由辅助角公式进行化简，利用函数图象分析即可得出结果．

（1）∵函数的最小正周期为π，

∴π，解得ω＝2，

∵g（x）＝f（x）＝Acos[2（x）+φ]＝Acos（2xφ），且g（x）的图象关于y轴对称，

∴φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ，k∈Z，

∴由|φ|，可得φ，可得f（x）＝Acos（2x），

∵，即f（）＝Acos[2×（）]＝Acos0＝A＝2，

∴函数f（x）的解析式为．

（2）由（1）知g（x）＝2cos2x；

F（x）＝2cos（2x）+2cos2x＝2（cos2xcossin2xsin）+2cos2x＝3cos2xsin2x，

＝2cos（2x）；

∵x∈[0，aπ]（a＞0）；

∴2x∈[，2aπ]；

∵函数F（x）的图象在x∈[0，aπ]（a＞0）上恰有2个最高点；

∴结合余弦函数的图象（如图示）知，4π≤2πa6π；

故解得a∈

故实数a的取值范围为．