Question

【题目】已知定义在上的可导函数，对于任意实数都有成立，且当时，都有成立，若，则实数的取值范围为（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，可判断出函数g（x）为R上偶函数．由f′（x）＜2x+1成立，可得g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，可得函数g（x）的单调性．不等式f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），利用单调性即可得出．

令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，

则g（﹣x）﹣g（x）＝f（﹣x）﹣x2+x﹣f（x）+x2+x＝0，

∴g（﹣x）＝g（x），∴函数g（x）为R上的偶函数．

∵当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜2x+1成立，

∴g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，

∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．

f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即f（2m）﹣4m2﹣2m＜f（m﹣1）﹣（m﹣1）2﹣（m﹣1），

∴g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），

∴|2m|＜|m﹣1|，

化为：3m2+2m﹣1＜0，

解得．

故选A．