题目内容
【题目】某公园为了美化环境和方便顾客,计划建造一座圆弧形拱桥,已知该桥的剖面如图所示,共包括圆弧形桥面和两条长度相等的直线型路面
、
,桥面跨度
的长不超过
米,拱桥
所在圆的半径为
米,圆心
在水面
上,且
和
所在直线与圆
分别在连结点
和
处相切.设
,已知直线型桥面每米修建费用是
元,弧形桥面每米修建费用是
元.
(1)若桥面(线段、
和弧
)的修建总费用为
元,求
关于
的函数关系式;
(2)当为何值时,桥面修建总费用
最低?
【答案】(1),
.(2)
【解析】
(1)设为弧
的中点,连结
,
,
,通过解直角三角形以及弧长公式,求得
的长,由此计算出修建总费用
的表达式,根据
长度的限制,和圆的直径,求得
的取值范围.
(2)利用导数求得的单调区间,进而求得当
为何值时,
取得最小值.
(1)设为弧
的中点,连结
,
,
,则
在中,
.
又因为,所以弧
长为
,
所以
当时,
;当
时,
,所以
所以,
.
(2)设,则
,令
得
当时,
,函数
单调递减;
当时,
,函数
单调递增;
所以当时,函数
取得最小值,此时桥面修建总费用最低.
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