Question

在极坐标系中，极点为A，已知“葫芦”型封闭曲线Ω由圆弧ACB和圆弧BDA组成．已知B（4，

π

2

），C（2

2

，

π

4

），D（4

2

，

3π

4

）
（1）求圆弧ACB和圆弧BDA的极坐标方程；
（2）求曲线Ω围成的区域面积．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）圆弧ACB是以(2，

π

2

)为圆心、2为半径的半圆弧，即可得出圆弧ACB的极坐标方程(0≤θ≤

π

2

)．圆弧BDA是以(2

2

，

3π

4

)为圆心，2

2

为半径的圆弧，即可得出极坐标方程(

π

2

≤θ≤

5π

4

)．
（2）曲线Ω围成的区域面积=

1

2

π×22+π(2

2

)2+

1

4

×π×(2

2

)2-

1

2

×(2

2

)2．

解答： 解：（1）圆弧ACB是以(2，

π

2

)为圆心、2为半径的半圆弧，
∴圆弧ACB的极坐标方程为：ρ=4sinθ(0≤θ≤

π

2

)．
圆弧BDA是以(2

2

，

3π

4

)为圆心，2

2

为半径的圆弧，
其极坐标方程为：ρ=4（sinθ-cosθ）(

π

2

≤θ≤

5π

4

)．
（2）曲线Ω围成的区域面积=

1

2

π×22+π(2

2

)2+

1

4

×π×(2

2

)2-

1

2

×(2

2

)2=12π-4．

点评：本题考查了直角坐标方程极坐标方程、圆的面积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．