Question

2．在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y=8，圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线l和圆C的极坐标方程；
（2）射线OM：θ=α（其中0＜α＜$\frac{π}{2}$）与圆C交于O，P两点，与直线l交于点M，直线ON：θ=α+$\frac{π}{2}$与圆C交于O，Q两点，与直线l交于点N，求$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）直线l的方程是y=8，利用y=ρsinθ即可化为极坐标方程．
圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），化为普通方程：x²+y²-4x=0，利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可化为极坐标方程．
2）$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{4cosα}{\frac{8}{sinα}}$•$\frac{-4cos（α+\frac{π}{2}）}{\frac{8}{sin（α+\frac{π}{2}）}}$=$\frac{1}{16}si{n}^{2}（2α）$（2α∈（0，π））．即可得出．

解答 解：（1）直线l的方程是y=8，化为极坐标方程为：ρsinθ=8．
圆C的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），化为普通方程：（x-2）²+y²=4，
展开为：x²+y²-4x=0，化为极坐标方程：ρ²-4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ．
（2）$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$=$\frac{4cosα}{\frac{8}{sinα}}$•$\frac{-4cos（α+\frac{π}{2}）}{\frac{8}{sin（α+\frac{π}{2}）}}$=$\frac{1}{16}si{n}^{2}（2α）$≤$\frac{1}{16}$（2α∈（0，π））．
∴$\frac{|OP|}{|OM|}•\frac{|OQ|}{|ON|}$的最大值为$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查了极坐标系下的直线与曲线相交弦长问题、参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．