在平面直角坐标系xOy中.曲线C1:$\left\{\begin{array}{l}{x=a+acosφ\\;}\\{y=asinφ\\;}\end{array}\right.$(参数φ∈[0.$\frac{π}{2}$].实数a＞0).曲线C2:$\left\{\begin{array}{l}{x=bcosφ\\;}\\{y=b+bsinφ\\;}\end{array}\right.$(� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=a+acosφ\\;}\\{y=asinφ\\;}\end{array}\right.$（参数φ∈[0，$\frac{π}{2}$]，实数a＞0），曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=bcosφ\\;}\\{y=b+bsinφ\\;}\end{array}\right.$（参数φ∈[0，$\frac{π}{2}$]，实数a＞0），曲线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，t≠0，其中0≤α≤π）与C₁交于A点，与C₂交于B点．
（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C₁，C₂的极坐标方程；
（2）若|OA|•|OB|的最大值为2$\sqrt{3}$，|OA|+|OB|的最大值为4，求a，b的值．

分析（1）利用同角三角函数平方关系，及其$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可得出极坐标方程．
（2）把曲线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²-2ax=0，化为：t²-2atcosα=0，解得|OA|．把曲线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²-2by=0，化为：t²-2btsinα=0，解得|OB|．再利用|OA|•|OB|的最大值为2$\sqrt{3}$，|OA|+|OB|的最大值为4，及其三角函数的单调性、和差公式、倍角公式即可得出a，b．

解答解：（1）曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=a+acosφ\\;}\\{y=asinφ\\;}\end{array}\right.$（参数φ∈[0，$\frac{π}{2}$]，实数a＞0），化为普通方程：（x-a）²+y²=a²，展开为x²+y²-2ax=0，化为极坐标方程：ρ²-2aρcosθ=0，即ρ=2acosθ．
曲线C₂：$\left\{\begin{array}{l}{x=bcosφ\\;}\\{y=b+bsinφ\\;}\end{array}\right.$（参数φ∈[0，$\frac{π}{2}$]，实数a＞0），化为普通方程：x²+（y-b）²=b²，展开为x²+y²-2by=0，化为极坐标方程：ρ²-2bρsinθ=0，即ρ=2bsinθ．
（2）把曲线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²-2ax=0，化为：t²-2atcosα=0，解得|OA|=2a|cosα|．
把曲线C₃：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$代入x²+y²-2by=0，化为：t²-2btsinα=0，解得|OB|=2bsinα．
∴|OA|•|OB|=4absinα|cosα|≤2ab=2$\sqrt{3}$，
|OA|+|OB|=2a|cosα|+2bsinα≤4，∴$\sqrt{4{a}^{2}+4{b}^{2}}$=4，则a²+b²=4，
联立解得a=$\sqrt{3}$，b=1，或a=1，b=$\sqrt{3}$．