Question

4．若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而F（x）=$\frac{f（x）}{x}$在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”．
（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x²+4x+2在x∈（1，2）是否是“弱增函数”，
并简要说明理由；
（2）若函数h（x）=x²+（sinθ-$\frac{1}{2}$）x+b（θ、b是常数）
（i）若θ∈[{0，$\frac{π}{2}}$]，x∈[0，$\frac{1}{4}}$]求h（x）的最小值．（用θ、b表示）；
（ii）在x∈（0，1]上是“弱增函数”，试探讨θ及正数b应满足的条件，并用单调性的定义证明．．

Answer 1

分析 （1）依据“弱增函数”的定义逐个判断即可；
（2）（i）求出函数的导数，通过讨论θ的范围，确定函数的单调性，从而求出函数的最小值即可；
（ii）由于h（x）在（0，1]上是“弱增函数”，所以h（x）在（0，1]上单调递增，$\frac{h（x）}{x}$在（0，1]上单调递减，由此可求出θ及正数b满足的条件．

解答 解：（1）由于f（x）=x+4在（1，2）上是增函数，且F（x）=$\frac{f（x）}{x}$=1+$\frac{4}{x}$在（1，2）上是减函数，
所以f（x）=x+4在（1，2）上是“弱增函数”；
g（x）=x²+4x+2在（1，2）上是增函数，但$\frac{g（x）}{x}$=x+4+$\frac{2}{x}$在（1，2）上不单调，
所以g（x）=x²+4x+2在（1，2）上不是“弱增函数”．
（2）（i）h（x）=x²+（sinθ-$\frac{1}{2}$）x+b，
h′（x）=2x+sinθ-$\frac{1}{2}$，θ∈[0，$\frac{π}{2}}$]，x∈[0，$\frac{1}{4}}$]，
令h′（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
0≤θ≤$\frac{π}{6}$时，$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{1}{4}$≤0，
∴h（x）在[0，$\frac{1}{4}$]递增，h（x）_min=h（0）=b，
$\frac{π}{6}$＜θ≤$\frac{π}{2}$时，h（x）在[0，$\frac{1}{2}$sinθ）递减，在（$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{4}$]递增，
h（x）_min=h（$\frac{1}{2}$sinθ-$\frac{1}{4}$）=3${（\frac{1}{2}sinθ-\frac{1}{4}）}^{2}$+b，
综上h（x）_min=b．
（ii）因为h（x）=x²+（sinθ-$\frac{1}{2}$）x+b（θ、b是常数）在（0，1]上是“弱增函数”
所以h（x）=x²+（sinθ-$\frac{1}{2}$）x+b在（0，1]上是增函数，
且F（x）=$\frac{h（x）}{x}$=x+$\frac{b}{x}$+（sinθ-$\frac{1}{2}$）在（0，1]上是减函数，
由h（x）=x²+（sinθ-$\frac{1}{2}$）x+b在（0，1]上是增函数，
得h′（x）≥0即2x+（sinθ-$\frac{1}{2}$）≥0在（0，1]上恒成立，
所以 $\frac{-（sinθ-\frac{1}{2}）}{2}$≤0，得sinθ≥$\frac{1}{2}$，解得θ∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈Z．
由F（x）=$\frac{h（x）}{x}$在（0，1]上是减函数，得F′（x）≤0在（0，1]上恒成立，
即1-$\frac{b}{{x}^{2}}$≤0，b≥x²在（0，1]上恒成立，所以b≥1，
综上所述，b≥1且θ∈[2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$]k∈Z时，h（x）在（0，1]上是“弱增函数”．

点评 本题以新定义的形式考查函数的单调性，考查运用所学知识分析解决新问题的能力．