Question

已知函数f（x）=

-x3+x2，x＜1 alnx，x≥1

，其中a为实常数，且a≠0．
（Ⅰ）若a≤-1，证明：当x≥1时，f（x）≥（a+2）x-x²；
（Ⅱ）设0为坐标原点，若在函数y=f（x）的图象上总存在不同两点A，B，使OA⊥OB，且线段AB的中点在y轴上，求a的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（I）设g（x）=f（x）-（a+2）x+x²，当x≥1时，利用导数法可判断g（x）是增函数，进而得到g（x）≥g（1）=-（a+1）≥0，即当x≥1时，f（x）≥（a+2）x-x²；
（Ⅱ）由题意设A（x，y₁），B（-x，y₂），（x＞0），分x=1，0＜x＜1，和x＞1三种情况，结合向量垂直的充要条件分别求出满足条件的a的取值范围，最后综合讨论结果可得答案．

解答： 证明：（I）设g（x）=f（x）-（a+2）x+x²；
当x≥1时，g（x）=alnx+x²-（a+2）x，
∴g′（x）=

a

x

+2x-（a+2）=

2x2-(a+2)x+a

x

=

(2x -a)(x-1)

x

，
∵a≤-1，x≥1，故g′（x）≥0恒成立，
故g（x）在[1，+∞）上是增函数，
故当x≥1时，g（x）≥g（1）=-（a+1）≥0，
即当x≥1时，f（x）≥（a+2）x-x²；
解：（Ⅱ）∵线段AB的中点在y轴上，
∴A，B两点的横坐标互为相反数，
设A（x，y₁），B（-x，y₂），（x＞0）
（1）若x=1，则y₁=alnx=0，y₂=1+1=2，
此时点A（1，0），B（-1，2），
此时OA⊥OB不成立，
（2）若0＜x＜1，则y₁=-x³+x²，y₂=x³+x²，
由方程x•（-x）+（-x³+x²）（x³+x²）=0无正解，
故此时OA⊥OB不成立，
（3）若x＞1，则y₁=alnx，y₂=x³+x²，
若OA⊥OB，则x•（-x）+（alnx）（x³+x²）=0，
即

1

a

=（x+1）lnx，
设h（x）=（x+1）lnx，（x＞1）
则h′（x）=lnx+

x+1

x

＞0，
即h（x）在（1，+∞）上是增函数，
则当x＞1时，h（x）＞h（1）=0，
即h（x）的值域是（0，+∞），
即

1

a

∈（0，+∞），
即a∈（0，+∞），

点评：本题考查的知识点是导数法分析函数的单调性，函数的最值，向量垂直的充要条件，综合性强，运算强度大，分类麻烦，属于难题．