题目内容

设f（x）=
sinbx
x
+xsin
2
x
，x＜0
3，                       x=0
ax-1
sinx
，               x＞0
在x=0处连续，求a，b的值．
考点：函数的连续性
专题：函数的性质及应用
分析：由题意根据函数在某一点连续的定义可得当x＞0时，
lim
x→0
ax-1
sinx
=3，当x＜0时，
lim
x→0
（
sinbx
x
+xsin
2
x
）=3．再利用罗比达法则化简，求得a、b的值．
解答： 解：若f（x）=
sinbx
x
+xsin
2
x
，x＜0
3，                       x=0
ax-1
sinx
，               x＞0
 在x=0处连续，
则当x＞0时，
lim
x→0
ax-1
sinx
=
lim
x→0
ax•lna
cosx
=lna=3，故有a=e3．
当x＜0时，
lim
x→0
（
sinbx
x
+xsin
2
x
）=
lim
x→0
[b•
sinbx
bx
+2•
sin
2
x
2
x
]=b+0=b=3．
综上可得，a=e3，b=3．
点评：本题主要考查函数在某一点连续的定义和性质，用罗比达法则求函数的极限，函数极限的运算法则，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
若非零向量
a
，
b
，
c
满足
a
∥
b
，且
b
•
c
=0，则（
a
+
b
）•
c
=（　　）
A、4B、3C、2D、0
如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，E是PB的中点，AB=2AD=2CD=2，且二面角P-AC-E的大小为
π
4
．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱锥C-ABE高的大小．
（Ⅲ）求直线PA与平面ACE所成角的大小．
已知椭圆C的中心在原点，一个焦点与抛物线x2=4
2
y的焦点相同，点P（1，
2
）是椭圆C是一点，斜率为
2
的直线l交椭圆C于M，N两点，且P，M，N三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线PM、PN的斜率分别为kPM、kPN，求证：kPM+kPN=0；
（Ⅲ）△PMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠D=90°，AB＜CD，SD⊥平面ABCD，AB=AD=a，SD=
2
a，设SB的中点为M，DM⊥MC．
（1）求证：DM⊥平面SBC；
（2）求四棱锥S-ABCD的体积．
已知函数f（x）=
-x3+x2，x＜1
alnx，x≥1
，其中a为实常数，且a≠0．
（Ⅰ）若a≤-1，证明：当x≥1时，f（x）≥（a+2）x-x2；
（Ⅱ）设0为坐标原点，若在函数y=f（x）的图象上总存在不同两点A，B，使OA⊥OB，且线段AB的中点在y轴上，求a的取值范围．
解关于x的不等式：
1-a
x-1
＞a（a≥0）．
如图所示，有一块边长为6m的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个边长为x的小正方形，做成一个长方形的无盖容器．

（Ⅰ）求这个容器的容积V（x）；
（Ⅱ）为使其容积V（x）最大，求截下的小正方形的边长x的值及容积V（x）的最大值．
如图所示，在五面体ABCDE中，EA=ED=EC=2，且EA，ED，EC两两垂直，AB∥CE，AB=1，F为CD的中点．
（1）求五面体ABCDE的体积．
（2）求证：BF∥平面ADE．

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