Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，直线PB与平面ABCD所成角为

π

4

，AB=2，BC=4，E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的正切值；
（Ⅲ）求多面体PABCE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结BD交AC于O点，连结OE，利用矩形的性质和三角形中位线定理可得PB∥OE，再用线面平行判定定理即可证出PB∥平面ACE；
（II）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．GH⊥AC于H，连接EH，进而可推断出EG⊥平面ABCD．EH⊥AC，进而可知∠EHG即为二面角θ的平面角．进而根据E是PD的中点，从而G是AD的中点，分别求得EG和GH，进而可得二面角E-AC-D的正切值；
（Ⅲ）多面体PABCE的体积为V_P-ABCD-V_E-ACD．

解答： （Ⅰ）证明：连结BD交AC于O点，连结OE
∵四边形ABCD为矩形，∴O为BD的中点
可得在△PBD中，OE是中位线，∴PB∥OE
∵PB?平面ACE，OE?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（II）解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD．
作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，
∴∠EHG即为二面角θ的平面角．
∵直线PB与平面ABCD所成角为

π

4

，AB=2，
∴PA=2，∴EG=1，
∵BC=4，∴AG=2，
∴GH=

5

5

，
∴tan∠EHG=

EG

GH

=

5

；
（Ⅲ）解：利用多面体PABCE的体积为长方体的体积减去三棱锥E-ACD的体积，可得多面体PABCE的体积
∵三棱锥E-ACD的底面三角形ADC中，AD=2，CD=1，高为1，
∴多面体PABCE的体积为V_P-ABCD-V_E-ACD=

1

3

×2×1×1-

1

3

×

1

2

×2×1×

1

2

=

1

2

．

点评：本题在四棱锥中证明线面平行，并求直线与平面所成角大小．着重考查了线面平行判定定理、直线与平面所成角的定义与求法等知识，属于中档题．