Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA=AB=1，BC=2．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求证：平面PAD⊥平面PDC．
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）由E、F分别是PC、PD的中点，可由三角形中位线定理得到EF∥CD，进而根据底面是矩形，对边平行得到EF∥AB，结合线面平行的判定定理得到EF∥平面PAB；
（2）由PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，可得PA⊥CD及AD⊥CD，进而由线面垂直的判定定理得到DC⊥平面PAD，进而由面面垂直的判定定理得到平面PAD⊥平面PDC；
（3）利用V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD•PA，即可求出四棱锥P-ABCD的体积．

解答： （1）证明：∵E、F分别是PC、PD的中点，
∴EF∥CD．                    （2分）
∵底面ABCD是矩形，
∴CD∥AB．
∴EF∥AB．                  （4分）
又AB?平面PAB，EF?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．               （7分）
（2）解：∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD
∴PA⊥CD．                    （8分）
∵底面ABCD是矩形，AD⊥CD．                                                          
又PA∩AD=A，AP?面PAD，AD?面PAD，
∴DC⊥平面PAD．                                                  
∵DC?平面PDC，
∴平面PAD⊥平面PDC．                                                   （10分）
（3）解：∵在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，BC=2，
∴V_P-ABCD=

1

3

S_ABCD•PA=

1

3

×1×2×1=

2

3

…（12分）

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，考查四棱锥的体积．其中（1）的关键是证得EF∥AB，（2）的关键是证得DC⊥平面PAD．