Question

5．函数f（x）的定义域为D，若对于任意x₁，x₂∈D，当x₁＜x₂时都有f（x₁）≤f（x₂），则称函数f（x）在D上为非减函数，设f（x）在[0，1]为非减函数，且满足以下三个条件；①f（0）=0；②f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x）；③f（1-x）=1-f（x），则f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{8}$）等于（　　）

• A． $\frac{1}{128}$
• B． $\frac{1}{256}$
• C． $\frac{1}{512}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 由已知函数f（x）满足的三个条件求出f（1），f（$\frac{1}{2}$），f（$\frac{1}{3}$），进而求出f（$\frac{1}{9}$），f（$\frac{1}{6}$）的函数值，又由函数f（x）为非减函数，求出f（$\frac{1}{8}$）的值，即可得到f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{8}$）的值．

解答 解：∵函数f（x）在[0，1]上为非减函数，①f（0）=0；③f（1-x）+f（x）=1，∴f（1）=1，
令x=$\frac{1}{2}$，所以有f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$．
又∵②f（$\frac{x}{3}$）=$\frac{1}{2}$f（x），∴f（x）=2f（$\frac{x}{3}$），∴令=1，可得1=2f（$\frac{1}{3}$），∴f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$．
令x=$\frac{1}{2}$，可得f（$\frac{1}{6}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$，令x=$\frac{1}{3}$，可得f（$\frac{1}{9}$）=$\frac{1}{2}$f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{4}$．
∵当x₁＜x₂时都有f（x₁）≤f（x₂），$\frac{1}{9}$＜$\frac{1}{8}$＜$\frac{1}{6}$，∴f（$\frac{1}{9}$）≤f（$\frac{1}{8}$）≤f（$\frac{1}{6}$ ），∴f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{4}$，
∴f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{8}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
故选：D．

点评 本题主要考查抽象函数、新定义的应用，充分利用题意中非减函数性质，属于中档题．