Question

已知3x²+2y²=6x，求x²+y²的范围．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：3x²+2y²=6x，化为(x-1)2+

y2

3 2

=1，令x-1=cosθ，y=

3 2

sinθ．可得x²+y²=-

1

2

(cosθ-2)2+

9

2

，利用cosθ∈[-1，1]，即可得出．

解答： 解：3x²+2y²=6x，化为(x-1)2+

y2

3 2

=1，
令x-1=cosθ，y=

3 2

sinθ．
∴x²+y²=（cosθ+1）²+

3

2

sin2θ
=

1

2

sin2θ+2cosθ+2
=-

1

2

(cosθ-2)2+

9

2

，
∵cosθ∈[-1，1]，
∴（cosθ-2）²∈[1，9]，
∴（x²+y²）∈[0，4]．

点评：本题考查了椭圆的参数方程、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．