Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x（1-x），
（1）求函数的解析式，并画出函数图象；
（2）写出函数的单调区间及值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：（1）因为x≥0时，f（x）=x（1-x），所以，当x＜0时，-x＞0，整体代入由函数的奇偶性可得答案；所得的函数解析式结合二次函数的图象特点，可函数的图象．
（2）根据图象写出单调区间和值域即可．

解答： 解：（1）因为x≥0时，f（x）=x（1-x），所以，当x＜0时，-x＞0，
∴f（-x）=-x（1+x），又因为f（x）为奇函数，所以f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-x（1+x），即f（x）=x（1+x）-------（4分）
综上f（x）=

x(1-x)，(x≥0) x(1+x)，(x＜0)

-------------（6分）
由函数的解析式可得其图象，如图：
（2）由函数的图象可知：
增区间：[-

1

2

，

1

2

]，
减区间：（-∞，-

1

2

），（

1

2

，+∞）

点评：本题考查函数在对称区间的解析式，以及函数图象的作法，属中档题．