Question

10．若实数x、y满足xy＞0，则$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$的最大值为-2．

Answer 1

分析 令t=$\frac{y}{x}$＞0，得到$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$=1-$\frac{1}{3+（2t+\frac{1}{t}）}$，根据基本不等式的性质求出2t+$\frac{1}{t}$的最小值，从而求出代数式的最大值即可．

解答 解：令t=$\frac{y}{x}$＞0，
则$\frac{x}{x+y}$+$\frac{2y}{x+2y}$
=$\frac{1}{1+t}$+$\frac{2t}{1+2t}$
=$\frac{1}{1+t}$+1-$\frac{1}{1+2t}$
=1+$\frac{t}{（1+t）（1+2t）}$
=1+$\frac{1}{3+（2t+\frac{1}{t}）}$，
由t＞0得2t+$\frac{1}{t}$≥2$\sqrt{2t•\frac{1}{t}}$=2$\sqrt{2}$，
故原不等式≤1+$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$=4-2$\sqrt{2}$，
故t=$\frac{\sqrt{2}}{2}$即y═$\frac{\sqrt{2}}{2}$x时，
所求的最大值是4-2$\sqrt{2}$，
故答案为：4-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质，换元思想以及转化思想，是一道中档题．