Question

5．直线$\sqrt{2}ax+by=\sqrt{3}$与圆x²+y²=1相交于A、B（其中a、b为实数），且∠AOB=$\frac{π}{3}$（O是坐标原点），则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最大值为$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根据直线和圆的位置关系以及两点间的距离公式即可得到结论．

解答 解：∵∠AOB=$\frac{π}{3}$（O是坐标原点），∴∴圆心到直线$\sqrt{2}$ax+by=$\sqrt{3}$的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
即$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2{a}^{2}+{b}^{2}}}=1$，整理得2a²+b²=3，
则点P（a，b）与点Q（1，0）之间距离d₁=$\sqrt{（a-1）^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{（a-1）^{2}+3-2{a}^{2}}$
=$\sqrt{-{a}^{2}-2a+4}$=$\sqrt{-（a+1）^{2}+5}$$≤\sqrt{5}$
则点P（a，b）与点（1，0）之间距离的最大值为$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$

点评 本题主要考查直线和圆的位置公式的应用以及两点间的距离公式，考查学生的计算能力．属于中档题．