Question

18．在（1+x+x²）ⁿ=D_n⁰+D_n¹x+D_n²x²+…+D_n^rx^r+…+D_n^2n-1x^2n-1+D_n²ⁿx²ⁿ的展开式中，把D_n⁰，D_n¹，D_n²，…，D_n²ⁿ叫做三项式系数．
（1）当n=2时，写出三项式系数D₂⁰，D₂¹，D₂²，D₂³，D₂⁴的值；
（2）类比二项式系数性质C_n+1^m=C_n^m-1+C_n^m（1≤m≤n，m∈N，n∈N），给出一个关于三项式系数D_n+1^m+1（1≤m≤2n-1，m∈N，n∈N）的相似性质，并予以证明．

Answer 1

分析 （1）由（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，即可得出．
（2）类比二项式系数性质C_n+1^m=C_n^m-1+C_n^m（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三项式系数有如下性质：${D}_{n+′1}^{m+1}$=${D}_{n}^{m-1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m+1}$．（1≤m≤2n-1）．由于（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）ⁿ•（1+x+x²），即（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（ D_n⁰+D_n¹x+D_n²x²+…+D_n^rx^r+…+D_n^2n-1x^2n-1+D_n²ⁿx²ⁿ）．比较上式左边与右边x^m+1 的系数即可得出．

解答 解：（1）因为（x²+x+1）²=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
三项式系数D₂⁰=1，D₂¹=2，D₂²=3，D₂³=2，D₂⁴=1．
（2）（2）类比二项式系数性质C_n+1^m=C_n^m-1+C_n^m（1≤m≤n，m∈N，n∈N），三项式系数有如下性质：
${D}_{n+′1}^{m+1}$=${D}_{n}^{m-1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m+1}$．（1≤m≤2n-1）．
因为（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）ⁿ•（1+x+x²），
所以（1+x+x²）ⁿ⁺¹=（1+x+x²）•（ D_n⁰+D_n¹x+D_n²x²+…+D_n^rx^r+…+D_n^2n-1x^2n-1+D_n²ⁿx²ⁿ）．
上式左边x^m+1 的系数为${D}_{n+1}^{m+1}$，而上式右边x^m+1 的系数为${D}_{n}^{m-1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m+1}$．（1≤m≤2n-1）．
因此${D}_{n+′1}^{m+1}$=${D}_{n}^{m-1}$+${D}_{n}^{m}$+${D}_{n}^{m+1}$．（1≤m≤2n-1）．

点评 本题考查了二项式定理的应用、类比推理、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．