题目内容
Monte-Carlo方法在解决数学问题中有广泛的应用．下面是利用Monte-Carlo方法来计算定积分．考虑定积分| ∫ | 1 0 |
| ∫ | 1 0 |
| m |
| n |
| ∫ | 1 0 |
（1）若ξ=2099，计算I的值，并以实际值比较误差是否在5%以内
（2）求ξ的数学期望
（3）用以上方法求定积分，求I与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率
附表：p（n）=
| n |
 |
| i=0 |
k 10000 |
| n | 1899 | 1900 | 1901 | 2099 | 2100 | 2101 |
| P（n） | 0.0058 | 0.0062 | 0.0067 | 0.9933 | 0.9938 | 0.9942 |
考点：离散型随机变量的期望与方差,独立性检验
专题：概率与统计
分析：（1）若ξ=2099，则I=
=0.2099，由此利用定积分能求出估计值与实际值的误差在5%以内．
（2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ～B（10000，0.2），由此能求出ξ的数学期望．
（3）I与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率为P（|
-0.2|＜0.01），由此能求出结果．
| 2099 |
| 10000 |
（2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ～B（10000，0.2），由此能求出ξ的数学期望．
（3）I与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率为P（|
| ξ |
| 10000 |
解答：
解：（1）若ξ=2099，则I=
=0.2099，
而
x4dx=
x5
=0.2，…（2分）
∴估计值与实际值的误差为：
×100%=4.95%，
即估计值与实际值的误差在5%以内．…（4分）
（2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，
投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ～B（10000，0.2），…（7分）
∴Eξ=10000×0.2=2000．…（9分）
（3）I与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率为
P（|
-0.2|＜0.01）
=P（1900＜ξ＜2100）
=
•0．2k•0．810000-k
=P（2099）-P（1900）=0.9871．…（14分）
| 2099 |
| 10000 |
而
| ∫ | 1 0 |
| 1 |
| 5 |
| | | 1 0 |
∴估计值与实际值的误差为：
| |0.2099-0.2| |
| 0.2 |
即估计值与实际值的误差在5%以内．…（4分）
（2）由题意，每一次试验能够落入区域M中的概率为0.2，
投掷10000个点有ξ个点落入区域M内，则ξ～B（10000，0.2），…（7分）
∴Eξ=10000×0.2=2000．…（9分）
（3）I与实际值之差在区间（-0.01，0.01）的概率为
P（|
| ξ |
| 10000 |
=P（1900＜ξ＜2100）
=
| 2100 |
|
| k=1901 |
| C | k 10000 |
=P（2099）-P（1900）=0.9871．…（14分）
点评：本题考查I的值的计算，考查实际值比较误差是否在5%以内的判断，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题．
练习册系列答案
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某长方体截去一个三棱锥后，形成的几何体的平面展开图的一部分如图1所示．函数y=ax-1（a＞0且a≠1）过定点，则这个定点是（ ）
| A、（0，1） |
| B、（1，2） |
| C、（-1，0.5） |
| D、（1，1） |
x＜-1”是x2-1＞0”的（ ）
| A、充分而不必要条件 |
| B、必要而不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要 |