Question

【题目】如图四棱锥中， 是梯形，AB∥CD， ，AB=PD=4，CD=2， ，M为CD的中点，N为PB上一点，且.

（1）若MN∥平面PAD；

（2）若直线AN与平面PBC所成角的正弦值为，求异面直线AD与直线CN所成角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：

（1）由题意在，连接EN，DE，结合条件可得四边形DMNE是平行四边形，故得MN∥DE，由线面平行的判定可得结论成立．（2）过点D作DHAB于H，则DHCD，建立空间直角坐标系，利用直线AN的方向向量与平面PBC的法向量并结合条件可得，然后根据两向量的夹角可得异面直线所成角的余弦值．

试题解析：

（1）证明：当则

，连接EN，DE，

EN∥AB，且，

M为CD的中点，CD=2，

，

又AB∥CD，

EN∥DM，EN=DM，

四边形DMNE是平行四边形，

MN∥DE，

又 平面PAD，MN平面PAD，

MN∥平面PAD．

（2）如图所示，过点D作DHAB于H，则DHCD．以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标D- yz．

则D（0，0，0），M（0，1，0），C（0，2，0），B（2，2，0），A（2，-2，0），

P（0，0，4），

∴，

．

该平面PBC的法向量为，

则由，得．

令z=1，则．

该直线AN与平面PBC所成的角为，则

，

解得

∴

设直线AD与直线CN所成角为，

则．

所以直线AD与直线CN所成角的余弦值为．