题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,
,
分别为椭圆
的左、右焦点.动直线
过点
,且与椭圆
相交于
,
两点(直线
与
轴不重合).
(1)若点的坐标为
,求点
坐标;
(2)点,设直线
,
的斜率分别为
,
,求证:
;
(3)求面积最大时的直线
的方程.
【答案】(1) (2)见证明;(3)
【解析】
(1)由已知得到直线l的方程,与椭圆方程联立即可求得点B的坐标;
(2)设直线l的方程为x=ty+1,与椭圆方程联立,利用根与系数的关系及斜率公式即可证明k1+k2=0;
(3)△AF1B的面积S|F1F2||y1﹣y2|=|y1﹣y2|
.把(2)中的根与系数的关系代入,可得S
.设函数f(x)=9x
(x≥1),利用导数可得f(x)=9x
在[1,+∞)上单调递增,得到当t2+1=1,即t=0时,9(t2+1)
取最小值10.由此可得直线l的方程为x=1.
(1)因为直线经过点
,
,
所以直线的方程为
.
由解得
或
所以.
(2)因为直线与
轴不重合,故可设直线
的方程为
.
设,
.
由得
,
所以,
,
因为,
在直线
上,所以
,
,
所以,
,
从而 .
因为,
所以.
(3)方法一:的面积
.
由(2)知, ,
,
故
,
设函数.
因为,所以
在
上单调递增,
所以当,即
时,
取最小值10.
即当时,
的面积取最大值,此时直线
的方程为
.
方法二:的面积
.
由(2)知, ,
,
故
,
因为,所以
,
所以,即
时,
的面积取最大值.
因此,的面积取最大值时,直线
的方程为
.
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