Question

已知S_n为等比数列{a_n}的前n项和，且a₁+a₄=-

7

16

，且对于任意的n∈N^*，有S_n、S_n+2、S_n+1成等差数列，{b_n}的前n项和T_n=

1

2

n²+

k

2

n（n∈N^*，k＞0），且T_n的最小值为1．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）对任意m∈N^*，将数列{b_n}中落入区间（2^m+

9

2

，4^m+

9

2

）内的个数记为c_m，求数列{c_m}的前m项和；
（3）记P_n=|

b1

a1

|+|

b2

a2

|+|

b3

a3

|+…+|

bn

an

|，若（n-1）²≤m（P_n-n-1）对于n≥2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得2（a₁+a₁q+a₁q²）=a₁+a₁+a₁q．由此求出a_n=（-

1

2

）ⁿ．由已知得T₁=b₁=

1

2

+

k

2

=1，解得k=1，当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=（

1

2

n²+

1

2

n）-[

1

2

（n-1）²+

1

2

（n-1）]=n，从而求出b_n=n．
（2）由2^m+

9

2

＜n＜4^m+

9

2

，得数列{b_n}中落入区间（2^m+

9

2

，4^m+

9

2

）内的个数c_m=4^m-2^m，由此能求出数列{c_m}的前m项和．
（3）由|

bn

an

|=|

n

(- 1 2 )n

|=n•2ⁿ，利用错位相减法能求出（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立的实数m的范围．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
∵对于任意的n∈N^*，有S_n、S_n+2、S_n+1成等差数列，
∴2（a₁+a₁q+a₁q²）=a₁+a₁+a₁q．
整理得：2a₁（1+q+q²）=a₁（2+q）．
∵a₁≠0，∴2+2q+2q²=2+q．
∴2q²+q=0，又q≠0，∴q=-

1

2

．
又a₁+a₄=a₁（1+q³）=-

7

16

，
把q=-

1

2

代入，得a₁=-

1

2

．
∴a_n=a₁q^n-1=（-

1

2

）×（-

1

2

）^n-1=（-

1

2

）ⁿ．
∵{b_n}的前n项和T_n=

1

2

n²+

k

2

n（n∈N^*，k＞0），且T_n的最小值为1．
∴T₁=b₁=

1

2

+

k

2

=1，解得k=1，
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=（

1

2

n²+

1

2

n）-[

1

2

（n-1）²+

1

2

（n-1）]=n，
n=1时，上式成立，
∴b_n=n．
（2）由2^m+

9

2

＜n＜4^m+

9

2

，
得数列{b_n}中落入区间（2^m+

9

2

，4^m+

9

2

）内的个数c_m=4^m-2^m，
∴数列{c_m}的前m项和S_m=（4+4²+4³+…+4^m）-（2+2²+2³+…+2^m）
=

4(1-4m)

1-4

-

2(1-2m)

1-2

=

4m+1

3

-2m+1+

2

3

．
（3）∵b_n=n，a_n=（-

1

2

）ⁿ，
∴|

bn

an

|=|

n

(- 1 2 )n

|=n•2ⁿ，
∴P_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ．
2P_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．
∴-P_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹，
∴P_n=-（

2-2n+1

1-2

-n•2ⁿ⁺¹）=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
若（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立，
则（n-1）²≤m[（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-n-1]对于n≥2恒成立，
也就是（n-1）²≤m（n-1）•（2ⁿ⁺¹-1）对于n≥2恒成立，
∴m≥

n-1

2n+1-1

对于n≥2恒成立，
令f（n）=

n-1

2n+1-1

，
∵f（n+1）-f（n）=

n

2n+2-1

-

n-1

2n+1-1

=

(2-n)•2n+1-1

(2n+2-1)(2n+1-1)

＜0
∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=

2-1

23-1

=

1

7

．
∴m≥

1

7

．
∴（n-1）²≤m（T_n-n-1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[

1

7

，+∞）．

点评：本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式是解题的关键．