Question

已知向量

a

=（

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx）与

b

（1，y）共线，设函数y=f（x）．
（1）求函数f（x）的周期及最大值；
（2）已知△ABC中的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f（A-

π

3

）=

3

，且a=7，sinB+sinC=

13 3

14

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）向量向量平行以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，通过三角函数的周期公式求解函数f（x）的周期及最大值；
（2）通过f（A-

π

3

）=

3

，求出A，利用a=7，以及正弦定理化简sinB+sinC=

13 3

14

，求出b+c，利用余弦定理推出bc关系，求出bc，然后求△ABC的面积．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（

1

2

，

1

2

sinx+

3

2

cosx）与

b

（1，y）共线，
∴

1

2

y-(

1

2

sinx+

3

2

cosx)=0…（2分）
则y=f（x）=2sin（x+

π

3

），∴f（x）的周期T=2π，…（4分）
当x=2kπ+

π

6

，k∈Z时，f_max（x）=2…（6分）
（2）∵f(A-

π

3

)=

3

，
∴2sin(A-

π

3

+

π

3

)=

3

，∴sinA=

3

2

…（7分）
∵0＜A＜

π

2

，∴A=

π

3

．
由正弦定理，得

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得，
sinB+sinC=

b+c

a

sinA，
即

13 3

14

=

b+c

7

×

3

2

，
∴b+c=13…（9分）
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA
得a²=（b+c）²-2bc-2bccosA，
即49=169-3bc，∴bc=40…（11分）
∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×40×

3

2

=10

3

…（12分）

点评：本题考查最新的以及余弦定理的应用，向量的平行以及两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．