Question

15．已知函数f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}+\sqrt{3}}$
（1）分别计算f（0）+f（1）；f（-1）+f（2）；f（-2015）+f（2016）的值；
（2）试根据（1）的结果归纳猜想出一般性结论，并给出证明．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}+\sqrt{3}}$，利用函数的性质能求出f（0）+f（1）；f（-1）+f（2）；f（-2015）+f（2016）的值．
（2）猜测$f（x）+f（1-x）=\frac{\sqrt{3}}{3}$．再利用函数性质进行证明．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{1}{{3}^{x}+\sqrt{3}}$
∴f（0）+f（1）=$\frac{1}{{3}^{0}+\sqrt{3}}+\frac{1}{3+\sqrt{3}}$=$\frac{1}{1+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}（1+\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}（1+\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
f（-1）+f（2）=$\frac{1}{{3}^{-1}+\sqrt{3}}+\frac{1}{{3}^{2}+\sqrt{3}}$=$\frac{1}{\frac{1}{3}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{3\sqrt{3}（\frac{1}{3}+\sqrt{3}）}$=$\frac{3\sqrt{3}+1}{3\sqrt{3}（\frac{1}{3}+\sqrt{3}）}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
f（-2015）+f（2016）=$\frac{1}{{3}^{-2015}+\sqrt{3}}+\frac{1}{{3}^{2016}+\sqrt{3}}$=$\frac{1}{{3}^{2016}+\sqrt{3}}$+$\frac{{3}^{2016}}{\sqrt{3}（\sqrt{3}+{3}^{2016}）}$=$\frac{\sqrt{3}+{3}^{2016}}{\sqrt{3}（\sqrt{3}+{3}^{2016}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）由（1）的结果可以猜测$f（x）+f（1-x）=\frac{\sqrt{3}}{3}$．
证明：f（x）+f（1-x）=$\frac{1}{{3}^{x}+\sqrt{3}}+\frac{1}{{3}^{1-x}+\sqrt{3}}$
=$\frac{1}{{3}^{x}+\sqrt{3}}+\frac{{3}^{x}}{3+\sqrt{3}•{3}^{x}}$
=$\frac{1}{{3}^{x}+\sqrt{3}}+\frac{{3}^{x}}{\sqrt{3}（\sqrt{3}+{3}^{x}）}$
=$\frac{\sqrt{3}+{3}^{x}}{\sqrt{3}（\sqrt{3}+{3}^{x}）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴f（x）+f（1-x）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．