Question

5．如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上的一点，且BC=$\sqrt{3}$AC，点D为线段AB上一点，且AD=$\frac{1}{3}$DB．PD垂直于圆O所在的平面．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAB；
（Ⅱ）若PD=BD，求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结CO，推导出BC⊥AC，CD⊥AO，PD⊥CD，由此能证明CD⊥平面PAB．
（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-PB-A的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）连结CO，由AD=$\frac{1}{3}DB$，得点D为AO的中点，
∵C是圆O上的一点，AB为圆O的直径，
∴BC⊥AC，
由BC=$\sqrt{3}AC$，知∠CAB=60°，
∴△ACO为正三角形，
∴CD⊥AO，
又PD⊥圆O所在的平面，CD在圆O所在平面内，
∴PD⊥CD，
∵PD∩AO，
∴CD⊥平面PAB．
解：（Ⅱ）以D为原点，DC为x轴，DB为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=2，则D（0，0，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），
∴$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}，0，-3$），$\overrightarrow{PB}$=（0，3，-3），
设向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面PBC的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=3y-3z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1）为平面PBC的一个法向量，
又$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{3}$，0，0）为平面PAB的一个法向量，
∵cos＜$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴二面角C-PB-A的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．