Question

19．设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x）+f（-x）=0；②f（x-1）=f（x+1）；③当0＜x≤1时，f（x）=2^x+1，则f（${\frac{1}{2}}$）+f（1）+f（${\frac{3}{2}}$）+f（2）+f（${\frac{5}{2}}$）+f（3）=7+$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知得f（x+2）=f（x），f（x）=-f（x），由此能求出f（${\frac{1}{2}}$）+f（1）+f（${\frac{3}{2}}$）+f（2）+f（${\frac{5}{2}}$）+f（3）．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：
①f（x）+f（-x）=0；②f（x-1）=f（x+1）；③当0＜x≤1时，f（x）=2^x+1，
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[（x+1）-1]=f（x），
∴f（2）=f（0）=0，
f（3）=f（1）=2¹+1=3，
f（$\frac{5}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=${2}^{\frac{1}{2}}+1$=$\sqrt{2}+1$，
f（$\frac{3}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=-f（$\frac{1}{2}$），
∴f（${\frac{1}{2}}$）+f（1）+f（${\frac{3}{2}}$）+f（2）+f（${\frac{5}{2}}$）+f（3）
=f（$\frac{1}{2}$）+3-f（$\frac{1}{2}$）+0+$\sqrt{2}+1$+3
=7+$\sqrt{2}$．
故答案为：7+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．