Question

已知a_n+1=-a_n-2b_n且b_n+1=6a_n+6b_n，a₁=2，b₁=4，求a_n、b_n．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列递推关系，建立方程，利用构造法，即可得到结论．

解答： 解：∵a₁=2，b₁=4，
∴a₂=-a₁-2b₁=-2-8=-10，
由a_n+1=-a_n-2b_n，得a_n+1+a_n=-2b_n，
∵b_n+1=6a_n+6b_n，
∴b_n+1=6a_n-3a_n+1-3a_n=-3a_n+1+3a_n，
即a_n+2+a_n+1=-2b_n+1=-2（-3a_n+1+3a_n），
即a_n+2=5a_n+1-6a_n，
则a_n+2-3a_n+1=2（a_n+1-3a_n），
即数列{a_n+1-3a_n}是公比q=2的等比数列，首项为a₂-3a₁=-16，
则a_n+1-3a_n=-2ⁿ⁺³，
两边同除以3ⁿ⁺¹，得

an+1

3n+1

-

an

3n

=-

2n+3

3n+1

=-4•(

2

3

)n+1，
则

a2

32

-

a1

3

=-4×(

2

3

)2，

a3

33

-

a2

32

=-4×(

2

3

)³，
…

an

3n

-

an-1

3n-1

=-4×(

2

3

)^n-1，
等式两边同时相加得

an

3n

-

a1

3

=-4×

4 9 -( 2 3 )n+1

1- 2 3

，
∴

an

3n

=

a1

3

-4×

4 9 -( 2 3 )n+1

1- 2 3

=3•(

2

3

)n+1-4，
即a_n=2ⁿ⁺¹-4•3ⁿ，
则a_n+1=2ⁿ⁺²-4•3ⁿ⁺¹，
∴b_n=6a_n-1+6b_n-1=8•3ⁿ-3•2ⁿ．
综上：a_n=2ⁿ⁺¹-4•3ⁿ，b_n=6a_n-1+6b_n-1=8•3ⁿ-3•2ⁿ．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列的递推公式，通过构造数列是解决本题的关键．运算量大，难度较大．