Question

已知△ABC中的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若

m

=（cosB，cosC），

n

=（2a+c，b），且

m

⊥

n

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求函数y=sin²A+sin²C的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）

m

⊥

n

⇒(2a+c)cosB+bcosC=0⇒2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，求出角B的余弦是多少，进而求出角B的大小即可；
（Ⅱ）首先把y=sin²A+sin²C化成一个某个角的正弦值的算式，然后根据三角函数的取值范围，判断出函数y=sin²A+sin²C的取值范围即可．

解答： 解：（Ⅰ）

m

⊥

n

⇒(2a+c)cosB+bcosC=0，
⇒2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
⇒2sinAcosB+sinA=0⇒cosB=-

1

2

⇒B=

2π

3

，
即角B的大小是

2π

3

．
（Ⅱ）y=sin2A+sin2C=

1-cos2A

2

+

1-cos2C

2

=1-

1

2

[cos2A+cos(120°-2A)]
=1-

1

2

(cos2A+cos120°cos2A+sin120°sin2A)
=1-

1

2

(

1

2

cos2A+

3

2

sin2A)
=1-

1

2

sin(2A+30°)0°＜A＜60°⇒30°＜2A+30°＜150°⇒sin(2A+30°)∈(

1

2

，1]
⇒y∈[

1

2

，

3

4

)，
即函数y=sin²A+sin²C的取值范围是[

1

2

，

3

4

）．

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，考查了三角函数中恒等变换的运用，属于中档题．