题目内容
已知椭圆Γ：
+
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，椭圆的上顶点和两焦点连线构成等边三角形且面积为
．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）设M为椭圆Γ上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M，若圆M与y轴相切，求点M的坐标．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）设M为椭圆Γ上一点，以M为圆心，MF为半径作圆M，若圆M与y轴相切，求点M的坐标．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）由题意知a=2c，bc=
，由此能示出椭圆Γ的标准方程．
（Ⅱ）设M（x0，y0），右焦点F（1，0），则圆M的半径r=
，由圆心M到y轴距离d=|x0|，圆M与y轴相切，结合已知条件能求出点M的坐标．
| 3 |
（Ⅱ）设M（x0，y0），右焦点F（1，0），则圆M的半径r=
| (x0-1)2+y02 |
解答：
解：（Ⅰ）由题意知a=2c，bc=
…（2分）
解得：a=2，b=
，c=1…（4分）
所以椭圆Γ的标准方程是
+
=1．…（5分）
（Ⅱ）设M（x0，y0），右焦点F（1，0），
则圆M的半径r=
，
圆心M到y轴距离d=|x0|，圆M与y轴相切，
则有r=d，即
=|x0|，…（8分）
化简得：y02-2x0+1=0，又M为椭圆上的点，
∴y02=3-
x02，…（9分）
两式联立消去y0，得3x02+8x0-16=0，
解得x0=-4或x0=
，…（10分）
又-2≤x0≤2，所以x0=
，y0=±
，
即点M坐标是(
，±
)．…（12分）
| 3 |
解得：a=2，b=
| 3 |
所以椭圆Γ的标准方程是
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）设M（x0，y0），右焦点F（1，0），
则圆M的半径r=
| (x0-1)2+y02 |
圆心M到y轴距离d=|x0|，圆M与y轴相切，
则有r=d，即
| (x0-1)2+y02 |
化简得：y02-2x0+1=0，又M为椭圆上的点，
∴y02=3-
| 3 |
| 4 |
两式联立消去y0，得3x02+8x0-16=0，
解得x0=-4或x0=
| 4 |
| 3 |
又-2≤x0≤2，所以x0=
| 4 |
| 3 |
| ||
| 3 |
即点M坐标是(
| 4 |
| 3 |
| ||
| 3 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点的坐标的求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．
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| A、{2，4，6} |
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