Question

9．定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[0，1]时，f（x）=x+b，若函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{5}$）
• B． （0，$\frac{1}{3}$）
• C． （$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$）
• D． （$\frac{1}{3}$，1）

Answer 1

分析 根据条件先求出f（1）=0，即函数f（x）是周期为2的周期函数，然后根据奇偶性求出函数在一个周期内的图象，结合函数与方程之间的关系转化两个函数的交点个数问题，利用数形结合建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：∵偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），
∴令x=-1，得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
即f（1）=f（1）-f（1）=0，
则f（1）=0，
即对?x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1）=f（x），
则函数f（x）是周期为2的周期函数，
∵当x∈[0，1]时，f（x）=x+b，
∴f（1）=1+b=0，则b=-1，
即当x∈[0，1]时，f（x）=x-1，
若x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]时，
则f（-x）=-x-1=f（x），
则当x∈[-1，0]时，f（x）=x+1，
由函数y=f（x）-log_a（x+1）=0，得f（x）=log_a（x+1），
作出f（x）和g（x）=log_a（x+1）在（0，+∞）上的图象
若函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上恰好有三个零点，
则等价为两个函数f（x）和g（x）在（0，+∞）上恰好有三个交点，
若a＞1，两个函数只有一个交点，不满足条件．
若0＜a＜1，要使两个函数有三个交点，
则点A（2，-1）则g（x）的图象的下方，B（4，-1）在g（x）的上方，
即$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=lo{g}_{a}3＜-1}\\{g（4）=lo{g}_{a}5＞-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{1}{3}}\\{a＞\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{5}$＜a＜$\frac{1}{3}$，
即实数a的取值范围是（$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{3}$），
故选：C．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题，根据条件求出函数的解析式以及在一个周期内的解析式是解决本题的关键．