Question

14．如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点A，CD是∠ACB的平分线，交AE于点F，交AB于点D．
（I）求证：AE•AF=EF•AB；
（Ⅱ）若BD=2AD，AC=2，求线段CE的长度．

Answer 1

分析 （I）利用圆周角定理可得∠CAE=∠ABC，进而利用相似三角形的性质可得$\frac{CE}{CA}=\frac{AE}{AB}$，又角平分线的性质可得
$\frac{CE}{CA}=\frac{EF}{AF}$，从而解得$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{AF}，即AE•AF=AB•EF$．
（Ⅱ）先求△ACF∽△BCD，利用相似三角形的性质可得$\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{BD}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，从而可求BC，利用切割线定理即可解得CE的值．

解答 （本题满分为10分）
解：（I）证明：∵CA为圆O的切线，
∴∠CAE=∠ABC，
则△ACE∽△ACB，
∴$\frac{CE}{CA}=\frac{AE}{AB}$，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴$\frac{CE}{CA}=\frac{EF}{AF}$，
∴$\frac{AE}{AB}=\frac{EF}{AF}，即AE•AF=AB•EF$．…（5分）
（Ⅱ）解：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACF=∠DCB，
∵CA切圆O于点A，
∴∠CAF=∠ABC，
∴△ACF∽△BCD，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{AF}{BD}=\frac{AD}{BD}=\frac{1}{2}$，
∴BC=2AC=4，
∵CA为圆O的切线，
∴CA²=CE•CB，
∴CE=1．…（10分）

点评 本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的性质，角平分线的性质，切割线定理的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．