Question

19．经观测发现在一般情况下，一过江大桥的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，函数v（x）的图象如图所示．
（1）根据图象写出当0≤x≤180时，函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）由图知：当30≤x≤180时设为v（x）=kx+b，列出方程求出k、b的值，利用分段函数求出函数v（x）的表达式；
（2）由（1）求出f（x）=x•v（x），根据解析式对x分段，分别利用一次函数的单调性、二次函数的性质求出各段上函数的最大值，比较后即可求出答案．

解答 解：（1）由图得，
当30≤x≤180时，车流速度v（x）是车流密度x的一次函数．
设为v（x）=kx+b，
∵当x=180辆/千米时，此时车流速度v=0；
当x=30辆/千米时，车流速度v=60千米/小时，
∴v（30）=30k+b=60，v（180）=180k+b=0，
解得k=$-\frac{2}{5}$，b=72，则v（x）=$-\frac{2}{5}$x+72，
∴V（x）=$\left\{\begin{array}{l}{60，0≤x＜30}\\{-\frac{2}{5}x+72，30≤x≤180}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得，f（x）=x•v（x）=$\left\{\begin{array}{l}{60x，0≤x＜30}\\{-\frac{2}{5}{x}^{2}+72x，30≤x≤180}\end{array}\right.$，
当0≤x＜30时，f（x）为增函数，
所以f（x）＜60×30=1800；
当30≤x≤180时，f（x）=$-\frac{2}{5}（x-90）^{2}+3240$，
则当x=90时，f（x）在区间[30，180]上取得最大值3240，
综上，当x=90时，f（x）在区间[0，180]上取得最大值3240．
即当车流密度为90辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3240辆/小时．

点评 本题考查分段函数解析式，分段函数求最大值问题，以及二次函数的性质的实际应用，属于中档题．