Question

1．已知直线l的方程为x+my-2m-1=0，m∈R且m≠0．
（1）若直线l在x轴，y轴上的截距之和为6，求实数m的值；
（2）设直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB面积最小时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）令x=0，得y的值，令y=0，得x的值，又已知直线l在x轴，y轴上的截距之和，列出方程，求解方程即可得实数m的值；
（2）方法一：由（1）得A，B点的坐标，又已知直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，则可得不等式组，求解得m＞0，再由三角形的面积公式结合基本不等式即可求得m的值，则直线l的方程可求．
方法二：由x+my-2m-1=0，得（x-1）+m（y-2）=0，列出方程组，求解即可得x，y的值，求出直线l过定点P（1，2），再设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），则直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1（a＞0，b＞0）$，把点P（1，2）代入直线方程，得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，由基本不等式得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$，ab≥8，则可求出当△AOB面积最小时，直线l的方程．

解答 解：（1）令x=0，得$y=2+\frac{1}{m}$．
令y=0，得x=2m+1．                        
由题意知，$2m+1+2+\frac{1}{m}=6$．
即2m²-3m+1=0，
解得$m=\frac{1}{2}$或m=1；                        
（2）方法一：
由（1）得 $A（2m+1，0），B（0，2+\frac{1}{m}）$，
由$\left\{\begin{array}{l}2m+1＞0\\ 2+\frac{1}{m}＞0.\end{array}\right.$解得m＞0．
${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}|{AO}|•|{BO}|$=$\frac{1}{2}|{2m+1}|•|{2+\frac{1}{m}}|=\frac{1}{2}（2m+1）（2+\frac{1}{m}）$
=$（m+\frac{1}{2}）（2+\frac{1}{m}）$=$2+2m+\frac{1}{2m}≥2+2=4$．
当且仅当$2m=\frac{1}{2m}$，即$m=\frac{1}{2}$时，取等号．       
此时直线l的方程为2x+y-4=0．                    
方法二：
由x+my-2m-1=0，得（x-1）+m（y-2）=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}x-1=0\\ y-2=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2\end{array}\right.$．
∴直线l过定点P（1，2）．
设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），
则直线l的方程为：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1（a＞0，b＞0）$．
将点（1，2）代入直线方程，得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=1$，
由基本不等式得$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}≥2\sqrt{\frac{2}{ab}}$，ab≥8．
当且仅当$\frac{1}{a}=\frac{2}{b}$，即a=2，b=4时，取等号．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}ab≥4$，
当△AOB面积最小时，直线l的方程为2x+y-4=0．

点评 本题考查了直线的一般式方程，考查了基本不等式的运用，是中档题．