Question

出下列数列{a_n}，n∈N^*：
①a_n=n²+n+1；②a_n=2n+3；③a_n=ln

n

n+1

；④an=e^n-1，其中满足性质“对任意正整数n，a_n+2+a_n≤2a_n+1都成立“的数列有

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：利用“作差法”计算a_n+2+a_n-2a_n+1≤0，对任意正整数n是否成立即可．

解答： 解：①a_n=n²+n+1，a_n+2+a_n-2a_n+1=（n+2）²+（n+2）+1+（n²+n+1）-2[（n+1）²+（n+1）+1]=2＞0，因此a_n+2+a_n≤2a_n+1不成立；
同理②a_n=2n+3时，成立；③a_n=ln

n

n+1

，不成立；④a_n=e^n-1，成立．
其中满足性质“对任意正整数n，a_n+2+a_n≤2a_n+1都成立“的数列是②④．
故答案为：②④．

点评：本题考查了作差法比较数的大小、对数与指数的运算性质、基本不等式的性质、乘法公式，考查了计算能力，属于中档题．