Question

9．在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）在线段PC上是否存在一点Q，使得二面角Q-BD-P为45°？若存在，求$\frac{{|{PQ}|}}{{|{PC}|}}$的值；若不存在，请述明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中点F，连结EF，BF，则EF∥PD，AB$\underset{∥}{=}$DF，从而BF∥AD，进而平面PAD∥平面BEF，由此能证明BE∥平面PAD．
（Ⅱ）推导出BC⊥PD，BC⊥BD，由此能证明BC⊥平面PBD．
（Ⅲ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PC上存在Q（0，2$\sqrt{2}-2$，2-$\sqrt{2}$），使得二面角Q-BD-P为45°，$\frac{{|{PQ}|}}{{|{PC}|}}$=$\sqrt{2}-1$．

解答 证明：（Ⅰ取CD中点F，连结EF，BF，
∵E为PC中点，AB=AD=PD=1，CD=2，
∴EF∥PD，AB$\underset{∥}{=}$DF，
∴四边形ABFD是平行四边形，∴BF∥AD，
∵EF∩BF=F，AD∩PD=D，BF、EF?平面BEF，AD、PD?平面ADP，
∴平面PAD∥平面BEF，
∵BE?平面BEF，∴BE∥平面PAD．
（Ⅱ）∵在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，
∴PD⊥底面ABCD，∴BC⊥PD，
∵底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，
∴BD=BC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴BD²+BC²=CD²，∴BC⊥BD，
∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．
解：（Ⅲ）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0），设Q（0，b，c），
$\overrightarrow{DB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，1），$\overrightarrow{DQ}$=（0，b，c），
设平面BDP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DP}=z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，0），
设平面BDQ的法向量$\overrightarrow{m}$=（x₁，y₁，z₁），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}={x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DQ}=b{y}_{1}+c{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-1，$\frac{b}{c}$），
∵二面角Q-BD-P为45°，
∴cos45°=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{2+\frac{{b}^{2}}{{c}^{2}}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得$\frac{b}{c}$=$\sqrt{2}$，
∴Q（0，$\sqrt{2}c$，c），∴$\frac{c}{1}=\frac{2-\sqrt{2}c}{2}$，解得c=2-$\sqrt{2}$，∴Q（0，2$\sqrt{2}-2$，2-$\sqrt{2}$），
∴$\frac{{|{PQ}|}}{{|{PC}|}}$=$\frac{\sqrt{（2\sqrt{2}-2）^{2}+（2-\sqrt{2}-1）^{2}}}{\sqrt{（2-0）^{2}+（0-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}-1$．
∴在线段PC上存在Q（0，2$\sqrt{2}-2$，2-$\sqrt{2}$），使得二面角Q-BD-P为45°，$\frac{{|{PQ}|}}{{|{PC}|}}$=$\sqrt{2}-1$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．