Question

10．S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S_n=n²（n∈N^•）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^•），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^•），利用错位相减法即可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
 n=1时，a₁=S₁=1符合上式，
 故a_n=2n-1（n∈N⁺）；                   
  （2）∵b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^•），
∴b_n=（2n-1）•2ⁿ，
则数列{b_n}的前n项和T_n满足：
T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，…①
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹…②
①-②得-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2•$\frac{4-{2}^{n+1}}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题主要考查数列通项公式以及数列求和的计算，根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系以及利用错位相减法进行求和是解决本题的关键．