Question

20．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-2{a}_{n}+3}$+b（n∈N^*）．
（1）若b=1，求证数列{（a_n-1）²}是等差数列；
（2）若b=-1，求证：a₁+a₃+…+a_2n-1＜$\frac{3n+4}{6}$．

Answer 1

分析 （1）b=1，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-2{a}_{n}+3}$+1，转化成（a_n+1-1）²-（a_n-1）²=2，即可证明数列{（a_n-1）²}是以2为公差的等差数列；
（2）当b=-1，构造辅助函数f（x）=$\sqrt{（x-1）^{2}+2}$-1，由c=f（c），求得c=$\frac{1}{2}$，利用数学归纳法a_2k＜$\frac{1}{2}$，则a₁+a₃+…+a_2n-1=a₁+f（a₂）+f（a₄）+…+f（a_2k）＜a₁+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$，即可证明a₁+a₃+…+a_2n-1=$\frac{3n+3}{6}$＜$\frac{3n+4}{6}$．

解答 解：（1）当b=1，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-2{a}_{n}+3}$+1，
∴（a_n+1-1）²=（a_n-1）²+2，即（a_n+1-1）²-（a_n-1）²=2，
∴（a_n-1）²-（a_n-1-1）²=2，
∴数列{（a_n-1）²}是0为首项、以2为公差的等差数列；
（2）当b=-1，a_n+1=$\sqrt{{a}_{n}^{2}-2{a}_{n}+3}$+1，
令f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+3}$-1=$\sqrt{（x-1）^{2}+2}$-1，
∴c=f（c），c=$\sqrt{（c-1）^{2}+2}$-1，解得：c=$\frac{1}{2}$，
下面证明a_2k＜$\frac{1}{2}$，
当n=1时，a₁=f（a₁）=f（1）=$\sqrt{2}$-1＜$\frac{1}{2}$，
当n=k时，a_2k＜$\frac{1}{2}$，
∵f（x）在（-∞，1]上是单调减函数，
∴f（a_2k）＞f（$\frac{1}{2}$），
f（a_2k+1）＜$\frac{1}{2}$，
a_2k+2＜$\frac{1}{2}$，即a_2（k+1）＜$\frac{1}{2}$，
当n=k+1时，a_2（k+1）＜$\frac{1}{2}$成立，
∴a₁+a₃+…+a_2n-1=a₁+f（a₂）+f（a₄）+…+f（a_2k）＜a₁+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{2}$，
=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{3n+3}{6}$＜$\frac{3n+4}{6}$．
则a₁+a₃+…+a_2n-1＜$\frac{3n+4}{6}$．

点评 本题考查等差数列递推公式，利用数学归纳法证明不等式成立，考查分析问题解决问题得能力，属于难题．